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Teoría de las colas

Teoría de las colas

Gestión empresarial

Concepto

La Teoría de las colas trata del estudio y análisis de las líneas de espera o de las colas. La formación de líneas de espera es un fenómeno bastante frecuente que se origina en cualquier centro de trabajo siempre que la demanda actual de un servicio exceda de la capacidad actual de proporcionarlo, tanto si se trata de empresas que elaboran productos como de empresas que prestan un servicio.

En el caso de empresas que prestan un servicio, las colas se originan siempre que la demanda actual de un servicio exceda de la capacidad actual de proporcionarlo. Con frecuencia la decisión relativa a la cantidad de servicio que se debe proporcionar es complicada dado que un exceso de servicios incrementaría los costes del sistema, mientras que carecer de la capacidad de servicios suficientes generaría colas excesivamente largas que podrían dar lugar a un incremento de los costes así como a una posible pérdida de las ventas.

Para el caso de empresas que fabrican el producto, vienen determinadas por la carencia de recursos necesarios que da lugar a las colas de piezas o trabajadores en espera de ser procesados y, como consecuencia de ello, se almacenan delante de los bienes de equipo y da lugar a la aparición de retrasos en el progreso del proceso productivo lo que también puede ocasionar un retraso en la fecha de entrega a los clientes.

Las líneas de espera pueden formarse aunque el sistema no esté sobrecargado de trabajo. Así, la dirección de operaciones debe tener en cuenta este fenómeno y debe tomar las decisiones adecuadas para evitar que se produzcan, al mismo tiempo que se optimiza el proceso de planificación y el uso de la capacidad productiva disponible.

El objetivo esencial de la Teoría de las colas es el de minimizar los costes totales que proceden principalmente de dos fuentes:

  • 1. La propia espera: comprende los costes de las personas que prestan el servicio o desempeñan una tarea en el proceso productivo; el coste del espacio de espera de los clientes o productos en curso así como aquellos costes que se derivan de la posible pérdida de un cliente o de una venta por no haber sido atendido a tiempo.
  • 2. La capacidad del sistema: que representa el coste de mantener un determinado nivel de servicio.

El fin último, por tanto, será el de encontrar un equilibrio entre el coste de proporcionar un determinado nivel de servicio mediante una cierta capacidad y el coste de la espera de los clientes.

Estructura y tipología de los modelos de colas

Estructura de los modelos de colas

El proceso básico que se desarrolla en las líneas de espera responde al siguiente esquema (ver figura 1).

Tipología de las líneas de espera o colas

La mayor o menor complejidad de las colas de espera depende de dos factores principales: los servidores o canales y las fases o etapas a procesar. En función de estos dos factores las Líneas de Espera pueden presentar las siguientes tipologías:

  • - Línea simple: incluye solo a un servidor y a una etapa, como por ejemplo un semáforo.
  • - Múltiples servidores y una sola etapa: por ejemplo la ventanilla de una gasolinera.
  • - Múltiples etapas y un solo servidor.
  • - Múltiples servidores y varias etapas.

Elementos principales de los modelos de colas

Tamaño de la población a atender

Se refiere al número potencial de clientes o productos en curso que es necesario atender. Se pueden identificar dos tipos de poblaciones:

  • - Poblaciones infinitas: en algunos casos, la demanda de prestación de servicios no está limitada por ningún factor; se dice entonces que la población es infinita, lo que implica que el posible número de clientes a atender exceda significativamente de la capacidad del sistema (véase el ejemplo de la caja de un supermercado).
  • - Poblaciones finitas: en otros casos, la población es finita; esto es, cada servidor puede atender a un número determinado de clientes sin exceder de ese número como puede ser el caso del número de alumnos asignados a un profesor.

La cola

La cola viene determinada por el número máximo de clientes que puede admitir. En general se supone que las colas son infinitas.

La disciplina de la cola

Hace referencia al orden a través del cual se selecciona a los clientes para que reciban el servicio; esto es, el criterio que se aplica para atender a los clientes. Normalmente el criterio más aplicado es el criterio del FIFO (First In, First Out) mediante el cual se atiende primero a los clientes que han llegado antes. En otras ocasiones se aplican criterios de prioridad como puede ser la atención en las urgencias de un hospital, se atiende al más “grave” primero con independencia del orden de llegada, etc.

Mecanismo del servicio

Consistente en una o más instalaciones de servicio con uno o más servidores. El tiempo que transcurre desde el inicio del servicio a un cliente hasta su completa realización se denomina Tiempo de Servicio.

Patrones de llegada o servicio

De entre los distintos casos que se pueden presentar, el más sencillo es aquel en el que las llegadas están espaciadas uniformemente y los tiempos de servicio son constantes. Cuando se trata de un sistema de flujo continuo, el tiempo medio de espera en la cola es estable. Así, la variabilidad de las llegadas y/o de la prestación del servicio puede describirse mediante el uso de distribuciones teóricas de probabilidad a partir de las siguientes pautas:

  • - Es comúnmente aceptable que la tasa de llegada de los clientes se ajusta a una distribución de probabilidad de Poisson, mientras que la tasa de prestación del servicio se ajusta más a una función exponencial negativa.
  • - Para comprobar que las hipótesis se cumplen, se acude al contraste estadístico mediante el método de Chi-Cuadrado.

Todos estos casos de variabilidad de las llegadas y/o prestación de servicios se pueden resumir en las siguientes figuras (ver figuras 2 y 3):

Figura 3. Estructuras básicas de los problemas de las Líneas de Espera
Número de CanalesTipo de PoblaciónFunción de Distribución de las LlegadasCriterio para prestación de servicioFunción de Distribución para Prestación de ServicioLongitud de la cola
UnoInfinitaPoissonFIFOExponencial Negativa/ConstanteIlimitada/limitada
MúltiplesInfinitaPoissonFIFO/OtrosExponencial NegativaIlimitada/limitada
Uno FinitaPoissonFIFOExponencial NegativaIlimitada
Fuente: Machuca (1998): Dirección de operaciones. Aspectos tácticos y operativos en la producción y los servicios. Ed. MC Graw-Hill, Madrid. P. 386

Criterios de medida para evaluar el rendimiento de un sistema de colas

Esta evaluación se puede centrar en distintos factores siendo los más representativos los siguientes:

  • - Número medio de clientes o productos en curso esperando tanto en la cola como en las operaciones del sistema.
  • - Tiempo medio de espera tanto en la cola como en las operaciones.
  • - Grado de utilización del sistema. Este grado de utilización viene expresado como porcentaje utilizado de la capacidad disponible.
  • - Coste asociado a un nivel dado de capacidad y su línea de espera.
  • - Probabilidad de que cada cliente o producto en curso que llega al sistema tenga que hacer cola de espera.

Modelización del problema

El modelo M/M/S indica un sistema de colas en el que tanto el tiempo que transcurren entre dos llegadas de carácter consecutivo, como el tiempo de servicio, aún siendo desconocido, puede ser simulado a través de una variable aleatoria con distribución exponencial.

Así, en cada una de las instalaciones de servicio del sistema, habrá “S” servidores que atenderán a los clientes que vayan llegando. El número de servidores indica el número de individuos que prestan servicios a los clientes de una instalación. Si se habla del modelo M/M/3 se hace referencia a un modelo que presenta tres servidores.

Con el fin de ofrecer una visión general, las principales notaciones básicas así como las ecuaciones que se emplean en la resolución de los distintos modelos de colas, se pueden resumir en las siguientes figuras (Ver figuras 4 y 5):

Figura 4. Principales Notaciones para colas finitas e infinitas
Colas infinitasColas finitas
λ = Tasa de llegadasD: Probabilidad de que un trabajo tenga que estar esperando en la cola
μ = Tasa de prestación de serviciosF: Factor de eficiencia (mide el efecto de tener que esperar en la cola)
1/λ = Tiempo promedio de llegadasH: Número promedio de unidades que se atienden
1/μ = Tiempo promedio de prestación de servicioJ: Población fuente menos los del sistema (N-n)
ρ = λ/μ = Utilización potencial de la instalación del servicioL: Número promedio de unidades en cola
LQ = Número medio de trabajos (llegadas) esperando a ser atendidos en la colaM: Número de canales de servicio
LS = Número medio de trabajos (llegadas) en el sistema, incluyendo a cualquiera que se esté atendiendon: Número promedio de trabajos en el sistema (incluyendo el que esté atendido)
WQ = Tiempo medio de espera de los trabajos en la colaN: Número de unidades en la población fuente
WS = Tiempo medio de espera de los trabajos en el sistemaPn = Probabilidad de que haya exactamente "n” unidades en el sistema
n = Número de unidades en el sistemaT: Tiempo promedio de realizar el servicio
M = Número de canales de servicio idénticosU: Tiempo promedio entre dos solicitudes consecutivas de prestación de servicios por parte del mismo trabajo
LMax = Número esperado máximo de trabajos en líneaW: Tiempo promedio de espera en cola
P0 = Probabilidad de que haya cero trabajos en el sistemaX: Factor de servicio o proporción del tiempo del servicio requerido
Pn = Probabilidad de que haya "n” trabajos en el sistema

Wd = Tiempo medio de espera para una llegada no servida de forma inmediata

Pw = Probabilidad de espera en la cola

Fuente: Machuca (1998): Dirección de operaciones. Aspectos tácticos y operativos en la producción y los servicios. Ed. MC Graw-Hill, Madrid. P. 390

Con independencia de la estructura concreta que presenten los distintos problemas de colas, es necesario, para todos los casos, el cumplimiento de las siguientes relaciones básicas (Machuca, 1998):

  • - La relación entre la tasa de llegada y la tasa de prestación de servicio puede considerarse como indicador del número medio de llegadas que están siendo atendidas.
  • - El número medio de trabajos (llegadas) en el sistema, es la suma del número medio de unidades en la cola más el número medio de trabajos que están siendo atendidos.
  • - El tiempo promedio de espera en la línea es el cociente entre el número medio de trabajos en línea y la tasa de llegada.
  • - El tiempo promedio de espera en el sistema es la suma del tiempo de espera en la cola más el tiempo de servicio.
  • - La utilización del sistema es la relación entre la tasa de llegadas y la tasa de servicio, dependiendo esta última del número de canales o servidores del sistema.
  • - Todos los problemas de población infinita requieren que la utilización del sistema sea inferior a uno.

Recuerde que...

  • Un exceso de servicios para reducir o eliminar las colas incrementa los costes del sistema, mientras que carecer de la capacidad de servicios suficientes generaría colas excesivamente largas que podrían dar lugar a un incremento de los costes así como a una posible pérdida de las ventas.
  • La dirección de operaciones debe tener en cuenta la formación de las colas y debe tomar las decisiones adecuadas para evitar que se produzcan, al mismo tiempo que optimiza el proceso de planificación y el uso de la capacidad productiva disponible.
  • El fin último, por tanto, será el de encontrar un equilibrio entre el coste de proporcionar un determinado nivel de servicio mediante una cierta capacidad y el coste de la espera de los clientes.
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