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Riesgo del VAN

Riesgo del VAN

Mide las posibles variaciones del mismo cuando se pretende valorar una inversión según el VAN y los parámetros de la misma no son conocidos con certeza.

Contabilidad y finanzas

Concepto

El riesgo del Valor Actualizado Neto o riesgo del VAN mide las posibles variaciones del mismo cuando se pretende valorar una inversión según el VAN y los parámetros de la misma (fundamentalmente los flujos de caja) no son conocidos con certeza. En estas circunstancias, para poder tener un criterio de decisión racional es aconsejable tener en cuenta tanto la rentabilidad esperada como el riesgo del mismo, para lo que suele emplearse la varianza o la desviación típica del VAN. Para su cálculo es necesario determinar el riesgo de los flujos de caja, para posteriormente obtener el del VAN.

Cálculo del riesgo de los flujos de caja

En aquellos casos en los que alguno de los parámetros de la inversión (flujo de caja) no sea conocido con certeza, es decir cuando se considera que uno o más de los citados parámetros se comporta como una variable aleatoria (en la que se estiman varios posibles valores), entre las formas de medir el riesgo asociado al citado flujo pueden citarse la varianza y la desviación típica. No obstante, también es importante conocer la evolución conjunta de los flujos de caja.

La varianza y la desviación típica de los flujos de caja

La varianza mide la distancia o dispersión media de los valores analizados con respecto al valor medio. En la varianza esta diferencia se computa al cuadrado para evitar los signos negativos.

  • a) Cálculo de la varianza de los flujos de caja

    La varianza de los flujos de caja se calcula en función de la información de la que se dispone:

    a) Si se estiman varios posibles valores pero no la probabilidad de que se produzca cada uno: En este caso su expresión analítica es la siguiente:

    Siendo:

    Qir = Valor “r” del flujo de caja del período “i”, para “i” desde “1” hasta “n” y para “r” desde “1” hasta “m”.

    E(Qi)] = Esperanza matemática de Qi

    b) En caso de poder estimar la probabilidad de que se produzca cada uno de los valores del flujo de caja (Pr) su expresión es:

    c) Si se puede estimar el flujo de caja optimista, el más probable y el pesimista pero no la probabilidad de cada uno de ellos. Se produce cuando se piensa un valor del flujo de caja como más probable (Qm) y, a la vez, se estima que no podrá ser inferior a un segundo valor (Qp) ni superar un tercero (Q0). En esta situación es posible aplicar alguna distribución de probabilidad entre las que destacan la distribución beta y la triangular (véase “Flujo de caja”).

    d) Si se puede estimar el flujo de caja optimista y otro pesimista pero no la probabilidad de cada uno de ellos. En este caso solo es posible calcular el valor mínimo (Qp) y máximo (Q0) del flujo de caja pero no un valor más probable entre ambos. Si es así, puede aplicarse una distribución rectangular o uniforme:

    También puede considerarse el desembolso inicial como una variable en aquellos casos en los que no puede determinarse un valor único. En estos casos se obtendría su varianza (σ2 (A)) siguiendo lo mencionado para los flujos de caja. Por lo que respecta a la desviación típica se obtiene mediante la raiz cuadrada de la varianza.

  • b) Interpretación de la varianza y desviación típica de los flujos de caja

    La interpretación de la varianza es la siguiente:

    • Una varianza pequeña indica que los posibles valores están muy cerca de la media, por lo que se considera que tiene poco riesgo.
    • Una varianza alta se produce cuando los valores están muy alejados de la media por lo que existen más posibilidades de conseguir un valor mayor pero también de lograr uno inferior, por lo que se considera que tiene más riesgo.

    Ejemplo:

    Así, un flujo de caja presenta como posibles valores (en euros) de 21, 18, 22 y 19 y otro importes de 36, 3, 36 y 5; ambos presentan un valor medio de 20 euros.

    La varianza de ambos flujos de caja es:

    Como puede observarse, la varianza del primer flujo de caja es más reducida que la del segundo. Esto se debe a que los valores del primer flujo de caja se encuentran más agrupados por lo que en el mejor de los casos se obtienen 22 y en el peor 19. Sin embargo, en el segundo flujo, la diferencia se encuentra entre obtener 3 o 36. Hay que señalar que el resultado indica la desviación en unidades monetarias (euros) al cuadrado. El cálculo de la desviación típica permite obtener una referencia en euros (eliminando el cuadrado):

    Por tanto, la desviación media en el primer flujo de caja es de 1,58 euros mientras que en el segundo es de 25,62, por lo que se puede afirmar que el primero tiene menos riesgo.

La evolución conjunta de los flujos de caja

En las inversiones que están formadas por varios flujos de caja es bastante habitual que exista una relación entre los mismos. Esta relación se suele medir mediante la covarianza o con el coeficiente de correlación.

  • a) La covarianza de los flujos de caja

    La covarianza de los flujos de caja se calcula como la media del producto de las diferencias entre cada uno de los valores que puede tomar un flujo de caja y su media:

    Siendo:

    — σ(QiQj): Covarianza entre el flujo de caja del período “i” y del período “j”.

    — Qir: Valor “r” del flujo de caja del período “i”, para “i” desde “1” hasta “n” y para “r” desde “1” hasta “m”.

    — Qjr: Valor “r” del flujo de caja del período “j”, para “j” desde “1” hasta “n” y para “r” desde “1” hasta “m”.

    — E(Qi)] : Esperanza matemática de Qi.

    — E(Qi)] : Esperanza matemática de Qj.

    b) En caso de poder estimar la probabilidad de que se produzca cada uno de los valores del flujo de caja (Pr) su expresión es:

  • b) El coeficiente de correlación

    El coeficiente de correlación también mide la relación entre los flujos de caja, con la peculiaridad de que su valor está acotado entre menos uno y uno. Su expresión es:

    Siendo:

    — ρ(QiQj): Coeficiente de correlación entre los flujos de caja del período “i” y del período “j”.

    — σ(QiQj): Covarianza entre el flujo de caja del período “i” y del período “j”.

    — σ(Qi): Desviación típica del flujo de caja del período “i”.

    — σ(Qj): Desviación típica del flujo de caja del período “j”.

    De esta forma:

    • Un coeficiente de correlación nulo indica que los flujos de caja son independientes; es decir, que los movimientos de uno no afectan al otro.
    • Un coeficiente de correlación igual a uno (correlación perfecta y positiva) indica que cuando un flujo de caja se mueve en una dirección el otro lo hace en la misma dirección e intensidad.
    • Un coeficiente de correlación igual a menos uno (correlación perfecta y negativa) indica que cuando un flujo de caja se mueve en una dirección el otro lo hace en distinta dirección con la misma intensidad.
    • Coeficientes entre cero y uno se producen cuando los flujos de caja varían en la misma dirección pero con distinta intensidad (la relación es mayor cuanto más cercano a uno sea el coeficiente).
    • Coeficientes entre cero y menos uno indican que los flujos de caja varían en distinta dirección y con distinta intensidad (la intensidad es mayor cuanto más cercano a menos uno sea el coeficiente).

Cálculo del riesgo del VAN

Si los flujos de caja y el desembolso inicial de la inversión son variables aleatorias, el VAN puede considerarse como otra variable aleatoria suma de una serie de variables aleatorias (los flujos de caja). Considerando, a su vez, el tipo de descuento (k) como un valor conocido, es posible calcular la varianza del VAN, diferenciando los siguientes casos:

a) Si los flujos de caja y el desembolso inicial son independientes, es decir las covarianzas y los coeficientes de correlación entre ellos son nulos, la varianza del VAN se calcula aplicando el principio estadístico de que la varianza de una suma de variables aleatorias es igual a la suma de las varianzas de cada una de las variables, multiplicadas por sus constantes al cuadrado.

b) Si los flujos de caja y el desembolso inicial son dependientes, es decir las covarianzas y los coeficientes de correlación entre ellos son distintos de cero, la varianza del VAN se calcula añadiendo a la expresión anterior el efecto de las citadas covarianzas multiplicadas por sus constantes. Además, como la covarianza entre las variables “i” y “j” es igual a la covarianza entre “j” e “i”, los citados sumandos se multiplican por dos.

c) Si algunos flujos de caja son dependientes y otros no, en este caso se incluye la primera expresión a la que se unen solo los sumandos en las que aparezcan dos variables correlacionadas. Si por ejemplo las variables correlacionadas fuesen el desembolso inicial y el flujo de caja del año dos, y los flujos de caja de los años tres o cinco, la varianza sería:

En el caso de que el desembolso inicial fuese un valor conocido y no una variable, en la expresión anterior aparecería cero en lugar de su varianza, y lo mismo ocurriría si cualquier otro flujo de caja fuese conocido y no una variable. También podría expresarse como desviación típica, para lo que sería necesario calcular la raíz cuadrada de la varianza del VAN:

Ejemplo:

El desembolso inicial de una inversión puede tomar los valores 40, 50 o 55, siendo el último el más probable, por lo que se le asigna una distribución beta. El primer flujo de caja se estima en 5, mientras que para los flujos de los años dos y tres se estiman los siguientes escenarios:

  • Demanda reducida, con una probabilidad del 20 %, en cuyo caso el flujo de caja del año dos se estima en 20 y el del año tres en 30.
  • Demanda media, con una probabilidad del 30 %, en cuyo caso el flujo de caja del año dos se estima en 25 y el del año tres en 38.
  • Demanda alta, con una probabilidad del 50 %, en cuyo caso el flujo de caja del año dos se estima en 28 y el del año tres en 40.

Teniendo en cuenta que los datos anteriores se encuentran expresados en miles de euros y que la empresa exige a las inversiones una rentabilidad del 5 %, determinar el riesgo asociado al proyecto utilizando el VAN.

Solución:

Primero se determina la varianza del desembolso inicial y de los flujos netos de caja.

El desembolso inicial sigue una distribución beta, por lo que su varianza es:

Dado que el primer flujo de caja tiene un único valor, tan solo hay que calcular la varianza de los flujos de caja dos y tres. Para ello es necesario determinar la esperanza de los mismos:

E(Q2) = (20 x 0,2) + (25 x 0,3) + (28 x 0,5) = 25,05

E(Q3) = (30 x 0,2) + (38 x 0,3) + (40 x 0,5) = 37,40

Las varianzas se calculan de la siguiente manera:

σ2 (Q2) = 0,2 x (20 - 25,05)2 + 0,3 x (25 - 25,05)2 + 0,5 x (28 - 25,05)2 = 7,61

σ2 (Q3) = 0,2 x (30 - 37,40)2 + 0,3 x (38 - 37,40)2 + 0,5 x (40 - 37,40)2 = 9,31

El paso previo a determinar la varianza del VAN consiste en calcular las covarianzas entre los flujos de caja, que en este caso solo existen entre los flujos dos y tres:

σ(Q2Q3) = 0,2 x (20 - 25,05) (30 - 37,40) + 0,3 x (25 - 25,05) (38 - 37,40) + 0,5 x (28 - 25,05) (40 - 37,40) = 8,85

El último paso es calcular la varianza del VAN, teniendo en cuenta que los flujos de caja dos y tres están correlacionados:

Si se quiere expresar en euros, es necesario calcular la desviación típica del VAN:

O lo que es lo mismo, una variación de 5.786,98 euros.

Recuerde que...

  • La varianza y la desviación típica de los flujos de caja: mide la distancia o dispersión media de los valores analizados con respecto al valor medio.
  • La evolución conjunta de los flujos de caja: en las inversiones que están formadas por varios flujos de caja existe una relación entre los mismos. Esta relación se mide mediante la covarianza o con el coeficiente de correlación.
  • Cálculo del riesgo del VAN si: los flujos de caja y el desembolso inicial son independientes, los flujos de caja y el desembolso inicial son dependientes o algunos flujos de caja son dependientes y otros no.
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