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Histograma

Histograma

Diagrama mediante la construcción de rectángulos sobre cada intervalo de la variable, cuyas áreas resultan proporcionales a las frecuencias correspondientes a dichos intervalos.

Contabilidad y finanzas

Concepto

En estadística, la representación gráfica de una distribución de frecuencia está asociada a la naturaleza del carácter de los elementos de la población en estudio.

El histograma se utiliza para el análisis de datos de carácter cuantitativo y continuos, o discretos pero agrupados en intervalos.

Se trata de un diagrama mediante la construcción de rectángulos sobre cada intervalo de la variable, cuyas áreas resultan proporcionales a las frecuencias correspondientes a dichos intervalos.

Análisis

1. Construcción, sobre un sistema de coordenadas cartesiano:

  • Eje de abscisas (OX): Intervalos de la variable.
  • Eje de Ordenadas (OY): Las frecuencias, bien absolutas, relativas, acumuladas absolutas o acumuladas relativas, en el caso de intervalos con amplitud constante; y de densidades, en el caso de que los intervalos tengan distintas amplitudes.

Se levantan los rectángulos, que tendrán por bases las amplitudes de los intervalos en los que se distribuya la variable y por alturas las frecuencias elegidas, o densidades, según el caso, correspondientes a esos valores.

2. Interpretación, por casos:

a) Intervalos con amplitud constante:

Según representemos en el eje de ordenadas frecuencias absolutas o relativas, el área de los rectángulos construidos será igual a la frecuencia absoluta o relativa, y, puesto que en este caso todos los rectángulos tienen la misma base (amplitud constante de los intervalos), la altura de los mismos será proporcional a la frecuencia absoluta o relativa señaladas, sirviendo de medida de las mismas.

Además, la suma de todas las áreas será igual a la frecuencia total, en el caso de frecuencias absolutas, y a 1 en el caso de frecuencias relativas.

Ejemplo 1:

Dada la siguiente distribución de frecuencias, relativa al capital ahorrado durante un año, por una muestra de 100 familias:

Intervalos de capital

(€)

Frecuencia absoluta

(ni)

Frecuencia relativa

(fi)

(500 - 1000)200,20
(1000 - 1500)150,15
(1500 - 2000)60,06
(2000 - 2500)420,42
(2500 - 3000)70,07
(3000 - 3500)20,02
(3500 - 4000)60,06
(4000 - 4500)00
(4500 - 5000)20,02
TOTAL1001

b) Intervalos de amplitud variable:

Si consideramos el caso en el que la variable está distribuida en intervalos de amplitud variable, la base de los rectángulos no es constante, y, por lo tanto, la altura ya no es proporcional a la frecuencia ni nos serviría de medida de la misma.

Para que la proporcionalidad del área de los rectángulos a la frecuencia se siga manteniendo, ahora en el eje OY representaremos la densidad de la frecuencia i-ésima (di) correspondiente a cada intervalo i, definida como:

donde:

ni= frecuencia absoluta del intervalo i.

ai= amplitud del intervalo i. Diferencia entre el extremo superior e inferior del intervalo i.

Ejemplo 2:

Continuando con el ejemplo anterior, pero ahora distribuiremos a las familias según lo que ahorran en intervalos de amplitud desigual, según la tabla siguiente:

Intervalos de capital (€)Amplitud del Intervalo (ai)Densidad de frecuencia (di)Frecuencia absoluta (ni)Frecuencia relativa (fi)
(500 - 750)2500,100250,250
(750 - 1250)5000,036180,180
(1250 - 2000)7500,01290,090
(2000 - 2500)5000,056280,280
(2500 - 5000)25000,008200,200

c) Existe otra variación, se trata de utilizar frecuencias acumuladas en el eje de ordenadas, de esta forma el área de los rectángulos es igual a la frecuencia acumulada correspondiente, ya sea absoluta o relativa.

Además, en cuanto a la representación gráfica, también se suele utilizar el llamado polígono de frecuencias acumuladas, se trata dibujar la línea poligonal que una los puntos medios de la base superior del rectángulo. Mide la frecuencia para las que la variable ha tomado valores menores o iguales a la abscisa correspondiente.

Ejemplo 3:

Con los datos del ejemplo 1, calculamos las frecuencias acumuladas, absolutas y relativas, y así obtenemos:

Intervalos de capital (€)Frecuencia absoluta (ni)Frecuencia relativa (fi)Frecuencia absoluta acumulada (Ni)Frecuencia relativa acumulada (Fi)
(500 - 1000)200,2200,2
(1000 - 1500)150,15350,35
(1500 - 2000)60,06410,41
(2000 - 2500)420,42830,83
(2500 - 3000)70,07900,9
(3000 - 3500)20,02920,92
(3500 - 4000)60,06980,98
(4000 - 4500)00980,98
(4500 - 5000)20,021001

El Polígono de frecuencias es:

Recuerde que...

  • Construcción, sobre un sistema de coordenadas cartesiano: eje de abscisas y eje de Ordenadas.
  • Interpretación: intervalos con amplitud constante, de amplitud variable y frecuencias acumuladas en el eje de ordenadas.
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